Shannara Blog

現在你的眼前有三扇門 ，其中一扇門背後的是一台汽車，另外兩扇門的背後則是 羚羊 山羊，遊戲主持人示意你選擇三門中其中一扇門。在主持人和觀眾的喧鬧聲之 中，你戰戰兢兢地選擇了1號 。這時候遊戲主持人問︰「你真的要選擇1號門嗎？」你說︰「是的。」在這個時候，遊戲主持人把2號門打開了，你很緊張的往裡面看，很幸運地2號門內並沒有你夢寐以求的汽車，正當你鬆一口氣的時候，主持人對你說︰「我現在給你多一次機會，你要堅持選你的1號門，還是轉為選3 號門呢？」

這也正是上篇介紹的21電影中米奇教授問男主角的問題，而這題也是很久以前美國的遊戲節目的關卡，主持人是Monty Hall，所以又叫Monty Hall Problem。

題目如下：

參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定 了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。而這時主持人會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。

所以問題來了，換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？

在解答之前，我們先來確認一下限制條件

• 參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裏有甚麼。(事件A)
• 主持人知道每扇門後面有什麼。
• 主持人必須開啓剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。 (事件B)
• 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
  • 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
  • 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
• 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。

從 貝式定律(Bayes Theorem) 來看，這遊戲就是一個從 先驗機率(prior probability) 以及 後驗機率(posterior probability) 的一個好例子 (感謝明天大大指正機率的譯名錯誤)。我們先假設事件A 是「參賽者在三扇門中挑選一扇」，而事件B 則是「主持人必須開啓剩下的其中一扇門」。

P(A) = 1/3  - 一開始中汽車的機率。
P(B) = 1/2  - 主持人從剩下的兩扇門中選一。
P(B | A) = 1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 = 1/2    - 根據參賽者一開始的選擇，主持人挑門的機率。

1. 1/2 * 1/3 - 如果一開始就選中汽車，那主持人就只有從剩下的一扇門二選一。
2. 1 * 1/3 - 如果一開始沒有選中汽車，那主持人就只有選剩下的山羊門。

所以根據Bayes Theorem， P(B | A ) = P(B | A) * P(A) / P(B) = 1/3的函義是，例如參賽者開啟一號門，而二號門有汽車的機率。假設我們現在重新命名三道門的名稱：<G1, G2, G3>，我們用圖表表示，則有下列三種情形：

1. 參賽者選擇了G1。

	主持人打開G2	主持人打開G3	總和
G1有汽車	1/6	1/6	1/3
G2有汽車	0	1/3	1/3
G3有汽車	1/3	0	1/3
總和	1/2	1/2

• 如果G1 沒有汽車，主持人會打開剩下沒有汽車的G2 或 G3。那這時候選擇換門就會選中汽車 (高達2/3的機率)；而如果堅持G1的話則是和遊戲一開始贏得汽車1/3的機率一樣。

所以從統計上來看的話，換門會贏到汽車的機率是2/3，比都不換的1/3還要高！那為什麼不是兩扇門選一的1/2呢？因為其中一項規則是主持人一定會打開一扇有山羊的門，所以這舉動已經把參賽者所思考的「選擇哪一扇門的問題」轉換成「換不換門」的問題。如果現在更改遊戲規則，主持人一開始就打開一扇有山羊的門的話，而中汽車的機率的確就是貨真價實的1/2了。

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資料來源

• MMDays的部落格 by Mr. Tomorrow